MAKALAH SYSTEM DIGITAL
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Perkembangan Teknologi Digital saat ini yang semakin maju. Masyarakat saat ini telah terpesona oleh komputer dan kalkulator modern. Ini mungkin karena mesin tersebut menghasilkan fungsi aritmatika dengan ketelitian dan kecepatan yang sangat menakjubkan. Bab ini membicarakan beberapa rangkaian logika yang dapat menjumlahkan dan mengurangkan, penambahan dan pengurangan dikerjakan dalam biner. Gerbang logika biasa akan kita rangkai satu sama yang lain untuk menghasilkan penambahan dan pengurangan.
Tujuan
• Mahasiswa dapat membentuk bilangan biner bertanda dari bilangan desimal positif dan negatif
• Mahasiswa dapat melakukan operasi penjumlahan bilangan-bilangan biner bertanda dengan bentuk-bentuk complement
• Dapat memahami operasi logika, gerbang logika, serta aljabar boolean
BAB II
PEMBAHASAN
1. Sistem digital
Sistem Digital adalah suatu sistem yang berfungsi untuk mengukur suatu nilai yang bersifat tetap atau tidak teratur dalam bentuk diskrip berupa digit-digit atau angka-angka. Contohnya bilangan integer dan pecahan.
1.1 Gerbang Logika
Gerbang logika adalah rangkaian dengan satu atau lebih dari suatu sinyal masukan tetapi hanya menghasilkan satu sinyal berupa tegangan tinggi atau tegangan rendah dikarenakan analisis gerbang logika dilakukan dengan Aljabar Boolean maka gerbang logika sering juga disebut rangkaian logika. Gerbang logika merupakan dasar pembentukan sistem digital. Gerbang logika beroperasi dengan bilangan biner, sehingga disebut juga gerbang logika biner.
LOGIKA :
Memberikan batasan yang pasti dari suatu keadaan, sehingga suatu keadaan tidak dapat berada dalam dua ketentuan sekaligus.
Dalam logika dikenal aturan sbb :
Suatu keadaan tidak dapat dalam keduanya benar dan salah sekaligus
Masing-masing adalah benar / salah.
Suatu keadaan disebut benar bila tidak salah.
Dalam ajabar boolean keadaan ini ditunjukkan dengan dua konstanta : LOGIKA ‘1’ dan ‘0’. Operasi-operasi dasar logika dan gerbang logika :
Pengertian GERBANG (GATE) :
Rangkaian satu atau lebih sinyal masukan tetapi hanya menghasilkan satu sinyal keluaran.
Rangkaian digital (dua keadaan), karena sinyal masukan atau keluaran hanya berupa tegangan tinggi atau low ( 1 atau 0 ).
Setiap keluarannya tergantung sepenuhnya pada sinyal yang diberikan pada masukan-masukannya.
Tegangan yang digunakan dalam gerbang logika adalah tinggi atau rendah. Tegangan tinggi berarti 1, sedangkan tegangan rendah berarti 0. Ada 7 gerbang logika yang kita ketahui yang dibagi menjadi 2 jenis, yaitu:
a. Gerbang logika Inverter
Inveter ( pembalik ) merupakan gerbang logika dengan satu sinyal masukan dan satu sinyal keluaran dimana sinyal keluaran selalu berlawanan dengan keadaan sinyal masukan. Inveter juga disebut gerbang NOT atau gerbang komplemen ( lawan ), disebabkan keluaran sinyalnya tidak sama dengan sinyal masukan.
b. Gerbang logika NON-inverter
Berbeda dengan gerbang logika inverter yang sinyal masukan hanya untuk gerbang logika non-inverter sinyal masukannya ada dua atau lebih sehingga hasil ( output ) sinyal keluaran sangat tergantung oleh sinyal masukan dan gerbang logika yang dilaluinya ( NOT, AND, OR, NAND, NOR, XO, XNO ).
Gerbang logika NOT ( Invers )
Gerbang NOT ini merubah logika 1 ke 0 dan sebaliknya à x = x’
Tabel NOT
X X’
0 1
1 0
Gerbang logika AND
Operasi antara dua variabel (A,B)
Gerbang AND ini akan menghasilkan logika 1, jika kedua variabel tersebut berlogika 1
Gerbang logika OR
Operasi antara 2 variabel (A,B)
Gerbang OR akan memberikan keluaran 1 jika salah satu dari masukannya pada keadaan 1. Jika diinginkan keluaran bernilai 0, maka semua masukan harus dalam keadaan 0. Gerbang OR akan memberikan sinyal keluaran tinggi jika salah satu atau semua sinyal masukan bernilai tinggi, sehingga dapat dikatakan bahwa gerbang OR hanya memiliki sinyal keluaran rendah jika semua sinyalmasukan bernilai rendah.
Operasi antara 2 variabel (A,B)
Gerbang logika NOR
Gerbang NOR adalah suatu NOT-OR, atau suatu fungsi OR yang dibalikan sehiingga dapat dikatakan bahwa gerbang NOR akan menghasilkan sinyal keluaran tinggi jika semua sinyal masukan bernilai rendah. Gerbang NOR akan memberikan keluaran 0 jika salah satu dari masukannya pada keadaan 1. Jika diinginkan keluaran 1, maka masukanya harus dalam keadaan 0.
Gerbang logika NAND
Gerbang NAND akan mempunyai keluaran 0 bila semua masukan pada logika 1. Sebaliknya jika sebuah logika 0 pada sembarang masukan pada gerbang NAND, maka keluaran akan bernilai 1. Gerbang NAND adalah suatu NOT-AND, atau suatu fungsi AND
yang dibalikan. Dengan kata lain bahwa gerbang NAND akan menghasilkan sinyal keluaran rendah jika sinyal masukan bernilai tinggi.
Gerbang logika EXOR
Gerbang EXOR akan menghasilkan sinyal keluaran rendah jika semua sinyal masukan bernilai rendah atau semua masukan bernilai tinggi atau dengan kata lain bahwa EXOR akan menghasilkan sinyal keluaran rendah jika sinyal masukan bernilai sama semua. Gerbang EXOR akan memberikan keluaran 1 jika masukan-masukanya mempunyai keadaan yang berbeda
Gerbang logika EXNOR
Gerbang EXNOR ini akan menghasilkan keluaran ‘1’ jika jumlah masukan yang bernilai ‘1’ berjumlah genap atau tidak ada sama sekali.
1.2. Operasi Logika
2 Sistem Bilangan
a. Bilangan desimal
- Bilangan Desimal terdiri atas 10 angka atau lambang, yaitu D = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
- Sistem bilangan desimal disebut juga sistem bilangan basis 10 karena mempunyai 10 digit
- Ciri suatu bilangan desimal adalah adanya tambahan subskrip des atau 10 di akhir suatu bilangan
Contoh: 357des = 35710 = 357
b. Bilangan Bulat Desimal
- Representasi bilangan bulat desimal m digit : (dm-1, … di, … , d1, d0) dengan di €
- Sehingga suatu bilangan desimal m digit akan mempunyai nilai:
- Contoh: Bilangan 357
Digit 3 = 3x100 = 300 (Most Significant Digit, MSD) Digit 5 = 5x10 = 50
Digit 7 = 7x1 = 7 (Least Significant Digit, LSD) Jumlah = 357
c. Bilangan Pecahan Desimal
- Representasi Bilangan Pecahan Desimal: (dm-1, … di, … , d1, d0, d-1, ... , dn) dengan di € D
- Sehingga suatu bilangan desimal pecahan akan mempunyai nilai:
- Contoh: Bilangan 245,21
- Koma desimal memisahkan pangkat positif dengan pangkat negatifnya. Bilangan 245,21 berarti
(2 X 10+2) + (4 X 10+1) + (5 X 100) + (2 X 10-1) + (1 X 10-2)
d. Bilangan Biner
- Digit bilangan biner disebut binary digit atau bit. Empat bit dinamakan nibble. Delapan bit dinamakan byte. Sejumlah bit yang terdiri dari karakter berupa huruf, angka atau lambang khusus dinamakan word.
- Sistem bilangan biner merupakan sistem bilangan basis dua. Pada sistem bilangan Ini Hanya dikenal dua lambang, yaitu:
B = 0, 1.
- Ciri suatu bilangan biner adalah adanya tambahan subskrip bin atau 2 diakhir suatu bilangan. Contoh: 1010011bin = 10100112.
e. Blangan Bulat Biner
- Representasi bilangan biner bulat m bit adalah sebagai berikut,
(bm-1, … bi, … , b1, b0) dengan bi € B
- Sehingga suatu bilangan biner m bit akan mempunyai nilai:
- Bit paling kiri dari suatu bilangan biner disebut bit paling berarti (Most Significant Bit, MSB), sedangkan bit paling kanan disebut bit paling tidak berarti (Least Significant Bit, LSB). Contoh : 101 = 1x22 + 0x21 + 1x20 = 4 + 1 = 5
f. Bilangan Pecahan Biner
- Representasi bilangan biner pecahan: (dm-1, … di, … , d1, d0, d-1, ... , dn) dengan di € B
- Sehingga suatu bilangan biner pecahan akan mempunyai nilai:
Contoh : 101,01 = 1x22 + 0x21 + 1x20 + 0x2-1 + 1x2-2 = 4 + 0 + 1 + 0 + 0,25 = 5,25
g. Konversi Bilangan Biner Ke Desimal
- Contoh bilangan bulat:
1010011 =1 X 26 + 0 X 25 + 1 X 24 + 0 X 23 + 0 X 22 + 1 X 21 + 1 X 20 =64+0+16+0+0+2+1 = 83des
Contoh bilangan pecahan:
111,01 = 1 X 22 + 1 X 21 + 1 X 20 + 0 X 2-1 + 1 X 2-2
= 4 + 2 + 1 + 0 + 0,25
= 7,25des
h.Konversi bilangan bulat desimal ke biner
Konversi bilangan bulat desimal ke biner dilakukan dengan membagi secara berulang-ulang suatu bilangan desimal dengan 2. Sisa setiap pembagian merupakan bit yang didapat
Contoh: Konversi 625des ke biner
625/2=312 1 (LSB)
312/2 = 156 0
156/2 = 78 0
78/2 = 39 0
39/2 = 19 1
19/2 = 9 1
9/2 = 4 1
4/2 = 2 0
2/2 = 1 0
1/2 = 0 1 (MSB)
Jadi 625des = 1001110001bin
i.Konversi Bilangan Pecahan Desimal Ke Biner
Caranya : Kalikan suatu bilangan desimal pecahan dengan 2. Bagian pecahan dari hasil perkalian ini dikalikan dengan 2. Langkah ini diulang hingga didapat hasil akhir 0. Bagian bulat dari setiap hasil perkalian merupakan bit yang didapat.
Contoh: Konversi 0,75 des ke Biner
0,75 X 2 = 1,50 sisa 1 (MSB)
0,50 X 2 = 1,00 1
0 X 2 = 0,00 0 (LSB)
Jadi 0,75des = 0,110bin
j. Bilangan Bulat Oktal
Representasi suatu bilangan oktal bulat m digit dalah sebagai berikut,
(om-1, … oi, … , o1, o0) dengan oi Î O Sehingga suatu bilangan oktal bulat m digit akan mempunyai nilai.
k. Bilangan Pecahan Oktal
Representasi bilangan pecahan oktal : (om-1, … oi, … , o1, o0, o-1, ... , on) dengan oi Î O Sehingga suatu bilangan oktal pecahan akan mempunyai nilai.
l. Konversi Bilangan Oktal ke Desimal
Contoh bilangan bulat:
1161okt = 625des
1161okt Berarti :
= 1 X 83 + 1 X 82 + 6 X 81 + 1 X 80
= 512+64+48+1
= 625des
Contoh bilangan pecahan:
13,6okt = 11,75des
13,6okt Berarti :
= 1 X 81 + 3 X 80 + 6 X 8-1
= 8 + 3 + 0,75
= 11,75des
m. Konversi Bilangan Desimal ke Oktal
Contoh Bilangan Bulat :
625des = 1161okt
625 / 8 = 78 sisa 1 (LSB)
78 / 8 = 9 6
9 / 8 = 1 1
1 / 8 = 0 1 (MSB)
Contoh Bilangan Pecahan :
0,1des = 0,063….okt
0,1 X 8 = 0,8 sisa 0 (MSB)
0,8 X 8 = 6,4 6
0,4 X 8 = 3,2 3 (LSB)
n. Konversi Bilangan Oktal ke Biner
Konversi bilangan oktal ke biner lebih mudah dibandingkan dengan konversi bilangan oktal ke desimal. Satu digit oktal dikonversi ke 3 bit biner
Contoh: 1161okt = 001001110001bin
1 1 6 1
001 001 110 001
Contoh: 0,063okt = 0,000110011bin
0 6 3
000 110 011
o. Konversi Bilangan Biner ke Oktal
Contoh Bilangan Bulat:
1001110001bin = 1161okt
001 001 110 001
1 1 6 1
Contoh Bilangan Pecahan:
0,000110011bin = 0,063okt
000 110 011
0 6 3
p. Bilangan Heksadesimal
Merupakan sistem bilangan basis enam belas. Penerapan format heksadesimal banyak digunakan pada penyajian lokasi memori, penyajian isi memori, kode instruksi dan kode yang merepresentasikan alfanumerik dan karakter nonnumerik.
Pada sistem bilangan ini terdapat enam belas lambang, yaitu:
H = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Ciri bilangan heksadesimal adalah adanya tambahan subskrip heks atau 16 di akhir suatu bilangan. Contoh: 271heks = 27116
Bilangan Bulat Heksadesimal.
Representasi suatu bilangan heksadesimal bulat adalah sebagai berikut, (hm-1, … hi, … , h1, h0) dengan hi € H Sehingga suatu bilangan heksadesimal m digit akan mempunyai nilai:
1.3. Aljabar Boolean
Aljabar boolean merupakan aljabar yang berhubungan dengan variabel-variabel biner dan operasi-operasi logik. Variabel-variabel diperlihatkan dengan huruf-huruf alfabet, dan tiga operasi dasar dengan AND, OR dan NOT (komplemen). Fungsi boolean terdiri dari variabel-variabel biner yang menunjukkan fungsi, suatu tanda sama dengan, dan suatu ekspresi aljabar yang dibentuk dengan menggunakan variabel-variabel biner, konstanta-konstanta 0 dan 1, simbol-simbol operasi logik, dan tanda kurung.
Suatu fungsi boolean bisa dinyatakan dalam tabel kebenaran. Suatu tabel kebenaran untuk fungsi boolean merupakan daftar semua kombinasi angka-angka biner 0 dan 1 yang diberikan ke variabel-variabel biner dan daftar yang memperlihatkan nilai fungsi untuk masing-masing kombinasi biner.
Aljabar boolean mempunyai 2 fungsi berbeda yang saling berhubungan. Dalam arti luas, aljabar boolean berarti suatu jenis simbol-simbol yang ditemukan oleh George Boole untuk memanipulasi nilai-nilai kebenaran logika secara aljabar. Dalam hal ini aljabar boolean cocok untuk diaplikasikan dalam komputer. Disisi lain, aljabar boolean juga merupakan suatu struktur aljabar yang operasi-operasinya memenuhi aturan tertentu.
Misalkan terdapat
- Dua operator biner: + dan ×
- Sebuah operator uner: ’.
- B : himpunan yang didefinisikan pada opeartor +, ×, dan ’
- 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.
Tupel
(B, +, ×, ’)
disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c Î B berlaku aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut:
1. Closure: (i) a + b Î B
(ii) a × b Î B
2. Identitas: (i) a + 0 = a
(ii) a × 1 = a
3. Komutatif: (i) a + b = b + a
(ii) a × b = b . a
4. Distributif: (i) a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
(ii) a + (b × c) = (a + b) × (a + c)
5. Komplemen[1]: (i) a + a’ = 1
(ii) a × a’ = 0
Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan:
1. Elemen-elemen himpunan B,
2. Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner,
3. Memenuhi postulat Huntington.
Aljabar Boolean Dua-Nilai
Aljabar Boolean dua-nilai:
- B = {0, 1}
- operator biner, + dan ×
- operator uner, ’
- Kaidah untuk operator biner dan operator uner:
a b a × b a b a + b a a’
0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 1 1 1 0
1 0 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1
Cek apakah memenuhi postulat Huntington:
1. Closure : jelas berlaku
2. Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa:
(i) 0 + 1 = 1 + 0 = 1
(ii) 1 × 0 = 0 × 1 = 0
3. Komutatif: jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner.
4. Distributif: (i) a × (b + c) = (a × b) + (a × c) dapat ditunjukkan benar dari tabel operator biner di atas dengan membentuk tabel kebenaran:
a b c b + c a × (b + c) a × b a × c (a × b) + (a × c)
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
(ii) Hukum distributif a + (b × c) = (a + b) × (a + c) dapat ditunjukkan benar dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti (i).
5. Komplemen: jelas berlaku karena Tabel 7.3 memperlihatkan bahwa:
(i) a + a‘ = 1, karena 0 + 0’= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1
(ii) a × a = 0, karena 0 × 0’= 0 × 1 = 0 dan 1 × 1’ = 1 × 0 = 0
Karena kelima postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {0, 1} bersama-sama dengan operator biner + dan × operator komplemen ‘ merupakan aljabar Boolean.
Ø Ekspresi Boolean
Misalkan (B, +, ×, ’) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +, ×, ’) adalah:
(i) setiap elemen di dalam B,
(ii) setiap peubah,
(ii) jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2, e1 × e2, e1’ adalah ekspresi Boolean
Contoh:
0
1
a
b
c
a + b
a × b
a’× (b + c)
a × b’ + a × b × c’ + b’, dan sebagainya
Hukum-hukum Aljabar Boolean
1. Hukum identitas:
(i) a + 0 = a
(ii) a × 1 = a 2. Hukum idempoten:
(i) a + a = a
(ii) a × a = a
3. Hukum komplemen:
(i) a + a’ = 1
(ii) aa’ = 0 4. Hukum dominansi:
(i) a × 0 = 0
(ii) a + 1 = 1
5. Hukum involusi:
(i) (a’)’ = a 6. Hukum penyerapan:
(i) a + ab = a
(ii) a(a + b) = a
7. Hukum komutatif:
(i) a + b = b + a
(ii) ab = ba 8. Hukum asosiatif:
(i) a + (b + c) = (a + b) + c
(ii) a (b c) = (a b) c
9. Hukum distributif:
(i) a + (b c) = (a + b) (a + c)
(ii) a (b + c) = a b + a c 10. Hukum De Morgan:
(i) (a + b)’ = a’b’
(ii) (ab)’ = a’ + b’
11. Hukum 0/1
(i) 0’ = 1
(ii) 1’ = 0
BAB III
PENUTUP
Sistem digital adalah suatu sistem yang berfungsi untuk mengukur suatu nilai yang bersifat tetap atau tidak teratur dalam bentuk diskrip berupa digit-digit atau angka-angka. Contohnya bilangan integer dan pecahan.
Aturan dalam logika
Suatu keadaan tidak dapat dalam keduanya benar dan salah sekaligus
Masing-masing adalah benar / salah.
Suatu keadaan disebut benar bila tidak salah.
Dalam ajabar boolean keadaan ini ditunjukkan dengan dua konstanta : LOGIKA ‘1’ dan ‘0’.
Ada 7 gerbang logika yang kita ketahui yang dibagi menjadi 2 jenis, yaitu Inveter yang disebut gerbang NOT atau gerbang komplemen ( lawan ), sedangkan gerbang logika non-inverter sinyal keluaran sangat tergantung oleh sinyal masukan dan gerbang logika yang dilaluinya ( NOT, AND, OR, NAND, NOR, XO, XNO ).
DALIL BOOLEAN ;
1. X=0 ATAU X=1
2. 0 . 0 = 0
3. 1 + 1 = 1
4. 0 + 0 = 0
5. 1 . 1 = 1
6. 1 . 0 = 0 . 1 = 0
7. 1 + 0 = 0 + 1 = 0
DAFTAR PUSTAKA
http://kalimasodo.wordpress.com/2008/05/30/gerbang-logika-dasar/
http://images.alfianaceh.multiply.multiplycontent.com/attachment/0/R@6WbgoKCrwAACqNcX01/Gerbang%20Logika.pdf?nmid=88644043
http://www.scribd.com/doc/62471693/Makalah-Aljabar-Boole-arin#
http://emka.web.id/special/electro/2010/operasi-logika-dasar-and-or-dan-not/
http://materitugas.blogspot.com/2010/12/aljabar-bollean.html
http://www.gudangmateri.com/2009/12/aljabar-boolean-lanjutan.html
http://www.geocities.ws/yasmuipsht6/sistem-bilangan.html
